关于函数的知识

1.有关函数的知识 总结

人教版初中函数如果帮到您,一定要“采纳”。

谢谢您的举手之劳!一、函数1. 常量、变量和函数在某一过程中可以取不同数值的量,叫做变量.在整个过程中保持统一数值的量或数,叫做常量或常数.一般地,设在变化过程中有两个互相关联的变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量. 2. 函数的两要素(1)函数的定义域(2)对应法则3. 函数的表示方法(1) 解析法 就是用一个等式来表示一个变量是另一个变量的函数,这个等式叫做这个函数的解析表达式(函数关系式).(2) 列表法 (3) 图像法 4. 函数的值域一般的,当函数f(x)的自变量x取定义域D中的一个确定的值a时,函数都有唯一确定的对应值,这个对应值称为x=a时的函数值,简称函数值,记作:f(a).5. 函数的图像若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在直角坐标平面上描出一个点(x,f(x)),这些点构成一个图形F,这个图形F就是函数y=f(x)的图像. 知道函数的解析式,要画函数的图像,一般分为列表,描点,连线三个步骤.二、正比例函数与反比例函数1. 正比例函数一般地,函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数,其中常数k叫做变量y与x之间的比例常数,确定了比例常数k,就可以确定一个正比例函数.正比例函数y=kx有下列性质: (1) 当k>0时,它的图像经过第一、三象限,y随着x的值增大而增大;当k<0时,他的图像经过第二、四象限,y随着x的增大而减小. (2)随着比例常数的绝对值的增加,函数图像渐渐离开x轴而接近于y轴,因此,比例系数k和直线y=kx与x轴正方向所成的角有关据此,k叫做直线y=kx的斜率. 2. 反比例函数一般地,函数y=k/x(k是不等于0的常数)叫做反比例函数. 反比例函数y=k/x有下列性质: (1) 当k>0时,他的图像的两个分支分别位于第一、三象限内,在每一个象限内,y随x的值增大而减小;当k<0时,它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内,在每一个象限内,y随x的增大而增大. (2) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴. 三、一次函数1. 一次函数及其图像 形如y=kx+b(k,b为常数)的函数叫一次函数.如果k=0时,函数变形为y=b,无论x在其定义域内取何值,y都有唯一确定的值b与之对应,这样的函数我们称它为常函数.直线y=kx+b与y轴交与点(0,b),b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称纵截距.2. 一次函数的性质函数y=f(x),在a < x < b上,如果函数值随着自变量x的值增加而增加,那么我们说函数f(x)在a < x < b上是递增函数;如果函数值随着自变量x的值增大而减小,那么我们说函数y=f(x)在a < x < b上是递减函数.如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像,交点的坐标就是这个方程组的解,这种求二元一次方程组的解法叫图像法.四 二次函数:y=ax^2+bx+c (a,b,c是常数,且a不等于0) a>0开口向上 a<0开口向下 a,b同号,对称轴在y轴左侧,反之,再y轴右侧 |x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a| 与y轴交点为(0,c) b^2-4ac>0,ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根 b^2-4ac<0,ax^2+bx+c=0无实根 b^2-4ac=0,ax^2+bx+c=0有两个相等的实根 对称轴x=-b/2a 顶点(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a 函数向左移动d(d>0)个单位,解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是减 函数向上移动d(d>0)个单位,解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是减 当a>0时,开口向上,抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上),并向上无限延伸;当a4.画抛物线y=ax2时,应先列表,再描点,最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势。

二次函数解析式的几种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0). (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0). (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0. 说明:(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点. (2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时,即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和 x2存在时,根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2). 求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法 ①配方法:将解析式化为y=a(x-h)2+k的形式,顶点坐标(h,k),对称轴为直线x=h,若a>0,y有最小值,当x=h时,y最小值=k,若a②公式法:直接利用顶点坐标公式(- , ),求其顶点;对称轴是直线x=- ,若a>0,y有最小值,当x=- 时,y最小值= ,若a6.二次函数y=ax2+bx+c的图像的画法 因为二次函数的图像是抛物线,是轴对称图形,所以作图时常用简化的描点法和五点法,其步骤是: (1)先找出顶点坐标,画出对称轴; (2)。

2.求有关函数的分类知识?

2006年高考数学必修1函数概念及性质(知识点总结) (一)函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:○2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1。

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的。那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合。

(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。

) 2. 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域。

(2)。应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。

(3)。求函数值域的常用方法有:直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等。

3。 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 。

即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来。

B、图象变换法(请参考必修4三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

发现解题中的错误。 4.快去了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f:A B” 给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B。且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6. 常用的函数表示法及各自的优点: ○1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;○2 解析法:必须注明函数的定义域;○3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;○4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 注意啊:解析法:便于算出函数值。 列表法:便于查出函数值。

图象法:便于量出函数值 补充一:分段函数 (参见课本P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A。

3.

函数的基本概念与性质。

1、函数的近代定义;设A、B都是非空集合,f:A—>B是从A 到B的一个映射,则称该映射f:A—>B为A到B的函数。记作y=f(x),其中x属于A,y属于B。

原象集A叫函数y=f(x)的定义域,象集C叫函数y=f(x)的值域,C是B的子集。 与函数定义的关的几个概念有:映射、一一映射、定义域、值域、反函数、分段函数、函数表示方法、函数的三要素等等。

2、函数的基本性质: (1)增减性。 (2)单调性。

(3)奇偶性。 (4)周期性。

(5)极值、最值。 3、对不种的函数具有不同的性质,对每一个具体的函数,它的性质就更为具体。

首先应该是掌握基本初等函数的性质、图象及应用。 作为高中学生,要把握好函数是整个高中数学的主线,就象中高中物理中“能量”的概念一样重要。

4.函数的应用知识点

1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

3、函数零点的求法:求函数的零点:①(代数法)求方程的实数根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。 4、二次函数的零点1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点。

2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点。 3)△ 全部。

5.悬赏

1. 函数的一些概念:

函数、自变量、应变量、定义域、值域

注:ⅰ对应的y是唯一的

ⅱ函数三大要素:定义域、对应法则、值域

ⅲ函数相同即定义域、对应法则相同

ⅳ换元后定义域要相应改变

ⅴ实际问题中函数的定义域要根据实际情况决定

2.函数间运算:和函数、积函数

注:定义域取两函数各自定义域的交集

3.函数表示方法:解析法(待定系数)、图像法(数形结合)、列表法

4.函数的奇偶性:定义域内任意实数x

注:ⅰ定义域关于原点对称是函数为奇、偶函数的必要条件

ⅱ偶函数没有反函数

ⅲ定义在R或[-a,a]、[-a,a]上的奇函数必过原点,即f(0)=0

ⅳ偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于原点中心对称

ⅴ奇+奇=奇 偶+偶=偶 偶+奇=不定

奇*奇=偶 偶*偶=偶 偶*奇=奇

5.函数的单调性:给定区间的任意两个值x1、x2

注:ⅰ利用定义证明函数单调性

ⅱ增+增=增 增*增=增 减+减=减 减*减=减

6.函数的周期性:T≠0

注:一个周期函数不一定有最小正周期,例如:f(x)=0

7.函数的最值:定义域内任意实数x

注:求函数最值的一般步骤

①求函数边界点

②求函数极值点

③若极值点在边界点内,极值点就是最值

④若极值点取不到,边界点就是最值(最大、最小要用单调性判断)

8.反函数:

注:ⅰ反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域(利用反函数求值域)

ⅱ原函数的增减与反函数相同

ⅲ原函数与反函数关于y=x对称

ⅳ证明f(x)关于y=x对称,即证f(x)的反函数f-1(x)是原函数f(x),反之亦然

9.函数的零点:

f(x)(x∈D),存在c(c∈D),当x=c时,f(c)=0,则x=c是函数的零点

10.掌握一次函数性质及图像

11.掌握二次函数性质及图像

注:ⅰ二次项系数不为零

ⅱ三种解析形式: 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c∈R)

顶点式:y=a(x-m)2+k(a≠0,(m,k)是顶点)

零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1、x2是图像在

x轴上两焦点)

12.掌握幂函数性质及图像:y=xα(α是常数,x∈R)

注:y=x^(q/p)各个图像你自己画一画吧

①q/p>0

p、q均是奇数 (q/p>1、q/p

p偶,q奇(q/p>1 、q/p

p奇,q偶(q/p>1、q/p②q/pp、q均是奇数

p偶,q奇

p奇,q偶

③q/p=0

13.掌握指数函数的性质和图像:y=ax (x∈R, a>0,a≠1)

14. 掌握对数函数的性质和图像:y=㏒ax (x>0, a>0,a≠1)

15.解参数方程(分类讨论)

16.函数与其他知识的综合运用

上海的同学 函数绝对是重点,解析几何就是用代数的方法解决几何问题 也有好几次函数题是最后一题

6.一次函数知识点

一次函数

一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

一次函数的图象

(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过(0,b)和 两点的一条直线,因此一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.

(2)一次函数y=kx+b的图象的画法.

根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下:是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b), .即横坐标或纵坐标为0的点.

正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).

直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示:

k>0,b>0 经过第一、二、三象限

k>0,b<0经过第一、三、四象限

k>0,b=0经过第一、三象限 k>0时,图象从左到右上升,y随x的增大而增大

k<0 b>0经过第一、二、四象限

k<0,b<0经过第二、三、四象限

K,0,b=0经过第二、四象限

k<0 图象从左到右下降,y随x的增大而减小

直线y1=kx+b与y2=kx图象的位置关系:

(1)当b>0时,将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位,就得到y1=kx+b的图象.

(2)当b<0时,将y2=kx图象向x轴下方平移-b个单位,就得到了y1=kx+b的图象.

直线l1:y1=k1x+b1与l2:y2=k2x+b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定:

当k1≠k2时,l1与l2相交,交点是(0,b).

直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴的交点.

(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0,0);

(2)直线y=kx+b与x轴交点坐标为( ,0)与 y轴交点坐标为(0,b).

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